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这个定理是关于酉群U(m)的n级不可约表示与n阶张量表示的关系,核心是说明U(m)的所有n级不可约表示都能从其n阶张量表示中分解得到。
简言之,这个定理和系表明:酉群的n阶张量表示是n级不可约表示的 “母表示”,通过约化张量表示的空间,就能得到所有n级不可约表示,是研究U(m)不可约表示的核心工具。
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如何理解张量表示的空间与不可约不变子空间两者的差别?
这里以U(2)的2阶张量表示为例,来理解张量表示的空间和不可约不变子空间的差别:
简言之,张量表示的空间是 “大而可约” 的载体,包含了所有可能的张量;而不可约不变子空间是 “小而不可约” 的组成部分,每个子空间上的表示都是不可约的。通过将张量空间分解为不可约不变子空间的直和,就能从可约的张量表示中提取出所有不可约表示。
这里U(2)是所有2阶酉矩阵构成的群,也就是说, U(2)的元素是2阶酉矩阵,而U(2) 的2阶张量表示的表示空间是两个2维空间的张量积,这两个2维空间的张量积又是一个四维空间。那么,以上内容意思就是,2阶酉矩阵的基当然是两个, 由此得到的U(2) 的2阶张量表示的表示空间因为是两个2维空间的张量积,所以它的基是4个。
那么,2阶张量表示和2阶张量表示的表示空间是同一概念吗?
简言之,“2 阶张量表示” 是群的表示(一种作用规则),“表示空间” 是该表示作用的线性空间(载体),两者是 “作用” 与 “载体” 的关系,不是同一概念。
注意,2 阶张量表示和表示空间中的向量是完全不同的概念,两者的本质区别如下:
2 阶张量表示:是群元在表示空间上的作用规则,是一组线性变换(每个群元对应一个矩阵),描述的是 “群如何作用于空间”。 表示空间中的向量:是表示空间里的元素,是群作用的 “对象”,即群通过张量表示的规则去变换这些向量。打个比方:表示空间是 “操场”正规配资平台推荐,向量是 “操场上的球”,而 2 阶张量表示是 “球的运动规则”(比如怎么踢、怎么传)。球是被规则作用的对象,规则本身不是球。
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